Сквозь губку Менгера. Как старшеклассники решают вековые задачи фрактальной топологии
Осенью 2021 года Малорс Эспиноза решил создать особенную математическую задачу. Она должна была быть достаточно сложной, чтобы стимулировать размышления и вызывать интерес к её решению, но при этом оставаться доступной для старшеклассников. Малорс, будучи аспирантом по математике в Университете Торонто, столкнулся с этим дополнительным вызовом.
В течение нескольких лет он организовывал летние семинары для местных школьников, знакомя их с основами математических исследований и обучая писать доказательства. Некоторые ученики проявляли интерес к более глубокому пониманию математики — к задачам, где нет очевидного ответа. Им требовался правильный вопрос, чтобы направить их интерес.
Такой вопрос Малорс нашёл, изучая учебник по теории хаоса. Там он наткнулся на знакомый объект — фрактал под названием «губка Менгера». Этот самоподобный объект строится по простому, но изящному принципу: сначала куб делится на части, подобные кубику Рубика. Затем удаляется центральный куб и центральные части каждой из шести граней. Этот процесс повторяется для оставшихся кубов снова и снова. С каждой итерацией структура становится всё более пористой, что и делает её похожей на губку.
С момента, когда Карл Менгер почти сто лет назад представил свою фрактальную губку, она продолжает впечатлять как профессиональных математиков, так и любителей. Одна из причин её популярности — впечатляющий внешний вид. В 2014 году сотни энтузиастов приняли участие в глобальном проекте MegaMenger, создав масштабные версии губки из визитных карточек, весом около 90 килограммов. Благодаря своей пористой, словно пенистой структуре, губка Менгера нашла применение в моделировании амортизаторов и даже экзотических форм пространства-времени.
Однако её главная ценность заключается в удивительных математических свойствах. По мере того, как из куба продолжают удалять всё более мелкие части, его форма трансформируется во что-то принципиально иное. После бесконечного количества итераций объём фигуры полностью исчезает, а её поверхность становится бесконечной. Эта необычность свойственна фракталам: они существуют между измерениями, занимая пространство, но не заполняя его полностью.
Когда Карл Менгер впервые описал свою губку в 1926 году, он также доказал, что любую возможную кривую — будь то простые линии, окружности или более сложные структуры, напоминающие деревья или снежинки, а также фрактальные объекты — можно деформировать и поместить в губку. Эти кривые можно заставить двигаться вдоль извилистых контуров губки, не покидая её поверхности, не проходя через отверстия и не пересекаясь сами с собой. Таким образом, Менгер назвал свою губку «универсальной кривой».
Однако это открытие породило новый вопрос, который позднее заинтересовал Малорса. Менгер доказал, что в его губке можно найти окружность, но что насчёт объектов, которые эквивалентны кругу в определённом смысле? Например, математический узел — это скрученная и перевязанная верёвка, концы которой замкнуты в петлю. Снаружи узел может выглядеть как спутанный клубок, но муравей, ползущий по его поверхности, в конце концов вернётся в исходную точку, как на круге. Таким образом, каждый узел эквивалентен или «гомеоморфен» окружности.
Утверждение Менгера не различало гомеоморфные кривые. Его доказательство лишь гарантировало, что, например, окружность можно найти в губке, но не утверждало, что все гомеоморфные узлы можно поместить в неё, сохраняя их петли и переплетения. Мэлорс хотел доказать, что каждый узел можно найти в губке.
Это казалось отличным поводом заинтересовать молодых математиков, ведь недавно они с увлечением изучали узлы на его семинаре. А кто не любит фракталы? Вопрос заключался в том, возможно ли решить эту задачу. «Я очень надеялся, что есть ответ», — признался Мэлорс.
И такой ответ действительно был найден. Всего через несколько месяцев после еженедельных встреч с Мэлорсом в Zoom трое старшеклассников — Джошуа Броден, Ноа Назарет и Нико Вот — смогли доказать, что все узлы действительно можно найти внутри губки Менгера. Более того, они выяснили, что аналогичное утверждение, вероятно, верно и для других фракталов, связанных с этим объектом.
«Это умный способ объединить всё в единое целое», — сказала Радмила Сазданович, тополог из Университета штата Северная Каролина, которая не участвовала в этой работе. Она отметила, что, пересмотрев теорему Менгера, которая уже сто лет, Мэлорс, обычно занимающийся исследованиями в области теории чисел, задал вопрос, который никто не задавал ранее. «Это очень, очень оригинальная идея», — добавила она.
Другой способ увидеть узлы
Броден, Назарет и Воут были участниками летних семинаров Малорса на протяжении многих лет. Когда он впервые рассказал им о математических узлах на одном из прошлых семинаров, Воут вспоминает: «Это взорвало мой 14-летний мозг».
Задача Менгера стала для них первым шагом за пределы школьных учебников с готовыми ответами. «Это было немного волнительно, потому что я впервые делал что-то, на что действительно не было ответа, даже у Малорса», — рассказал Назарет. Возможно, ответа вообще не было.
Их задача заключалась в том, чтобы продеть микроскопическую швейную иглу через облако пыли — материал, оставшийся от губки после многократного удаления частей. Им нужно было с точностью вставить булавку в нужные места, завязать узелки и ни в коем случае не покидать губку. Если бы нить застряла в пустых отверстиях губки из-за неправильного узелка, задача была бы провалена.
Это была сложная задача, но был способ её упростить. Узлы можно изобразить на плоском листе бумаги с помощью диаграмм, называемых дуговыми представлениями. Чтобы создать такую диаграмму, нужно сначала получить информацию о том, как нити узла проходят друг перед другом или позади. Затем следует применить набор правил, чтобы преобразовать эту информацию в последовательность точек на сетке. Каждая строка и каждый столбец сетки должны содержать ровно по две точки.
Соедините эти точки горизонтальными и вертикальными линиями. Всякий раз, когда два отрезка пересекаются, рисуйте вертикальный отрезок перед горизонтальным.
Каждый узел можно представить в виде сетки. Хотя дуговое представление может выглядеть более сложным, чем другие способы изображения узлов, оно позволяет математикам исследовать некоторые важнейшие свойства узлов.
Когда ученики рассматривали схемы пересекающихся линий, им приходили в голову грани губки Менгера. Было бы достаточно разместить горизонтальные линии дугового представления на одной грани губки, а вертикальные — на противоположной. Основная трудность заключалась в том, чтобы понять, как правильно соединить узел, как растянуть его в трёхмерном пространстве. В каждом углу дугового представления нужно было соединить две грани внутри губки, избегая попадания в её отверстия.
Чтобы убедиться, что это всегда возможно, математики обратились к так называемому множеству Кантора — одномерному аналогу губки Менгера. Чтобы построить это множество, нужно взять отрезок прямой, разделить его на три части, удалить среднюю часть, а затем повторить процесс с оставшимися двумя отрезками. Этот процесс продолжается до бесконечности, в результате чего остаётся множество точек.
Команда изучила как губку Менгера, так и множество Кантора, подвергшиеся одинаковому количеству операций удаления. Они поняли, что в точках на гранях губки, координаты которых принадлежат множеству Кантора, не должно быть отверстий. Более того, благодаря повторяющемуся рисунку губки, в этих точках и непосредственно за ними не должно быть пустых пространств. Таким образом, узел мог свободно проходить через губку, не соскальзывая с её поверхности.
Следовательно, студентам оставалось лишь доказать, что они могут сжать или растянуть дуговое представление заданного узла таким образом, чтобы все его углы совпали с координатами, принадлежащими множеству Кантора. Это было допустимо, так как такие деформации не влияли на общую структуру дугового представления и, следовательно, на тот узел, который оно представляло.
Для завершения последнего шага Броден, Назарет и Вот нашли эффективный метод. Они доказали, что могут деформировать любое дуговое представление таким образом, что точки пересечения вертикальных и горизонтальных сегментов будут находиться в множестве Кантора. Это автоматически гарантировало, что и другие углы также будут находиться в множестве Кантора. Иными словами, они доказали, что всегда можно встроить заданный узел в одну из итераций губки Менгера.
Теперь, когда они ответили на первоначальный вопрос Мэлорса, они хотели развить свой результат. Они уже начали исследовать, можно ли встроить все узлы в тетраэдрическую версию губки Менгера:
«Это было удивительно неприятно», — сказал Броден. Без удобства расположения граней друг напротив друга их метод проталкивания узлов через фрактал больше не работал бы.
Именно на этом этапе, по словам Мэлорса, студенты осознали, насколько болезненной может быть работа в математике — большая часть дисциплины связана с преодолением неудач, когда многообещающий подход терпит крах. «Мы имеем дело с математикой, а математика безжалостна», — сказал он. «Когда математика преподаётся старшеклассникам, они обычно защищены от этого».
Малорс, со своей стороны, был убеждён, что так называемый узел-трилистник невозможно найти в тетраэдре. Однако во время звонка в Zoom трое студентов возразили ему. Они покинули совещание, по их словам, подавленные и разочарованные. Но, несмотря на это, они решили довериться своей интуиции. Через пару недель, к удивлению Малорса, они вернулись с результатом: им удалось найти новый способ отобразить дугу узла-трилистника в тетраэдре. Позже они доказали, что это возможно для всех «кренделей» — более общего класса узлов, к которому относится трилистник, хотя вопрос о других видах узлов остаётся открытым.
Мэлорс предполагает, что методы студентов могут предложить новый способ более глубокого измерения сложности фракталов. Не все фракталы могут гарантированно удерживать все типы узлов. Возможно, их структуру можно лучше понять, исходя из того, какие узлы они могут и не могут поддерживать.
По крайней мере, эта работа может вдохновить на создание нового произведения искусства, подобного конкурсу MegaMenger 2014 года. «Было бы замечательно увидеть, как это можно сделать из физических материалов», — сказала Эллисон Мур, специалист по теории узлов из Университета Содружества Виргинии.
Тем временем Броден, Назарет и Вот завершили школу. Только Броден продолжает работу над задачей о тетраэдре, когда не занят учёбой в колледже, но все трое рассматривают возможность карьеры в математике. «Мне кажется важным, что я пытаюсь внести свой вклад в нечто большее, чем я сам, в природу истины», — сказал Назарет. Всё начинается с правильного вопроса.
о, Дискус - Форум
